|
Описание поверхности отклика полиномами первого порядка часто оказывается недостаточным. Во многих случаях удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка (6).
В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менее чем на трех уровнях. В этом случае полный факторный эксперимент содержит слишком большое количество опытов, равное  . Так, при  их 27, а число коэффициентов  , при  число опытов 243, а коэффициентов 21. В связи с этим осуществление полного факторного эксперимента (ПФЭ) для планов второго порядка не только сложно, но и нецелесообразно.
Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика  второго порядка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т.д., описываемую в общем виде уравнением:
 . (7)
Для определений такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, т.е. факторы  и  должны варьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов и на рисунке 3, а не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4, располагающихся в вершинах квадрата, как это делается для модели первого порядка. К ним должны быть добавлены опыты (звездные точки) 5, 6, 7, 8, расположенные на осях и с координатами  и обязательно опыт 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению (5-9-6), (1-9-4) и т.д. располагалось три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении.
Рисунок 3 - Планы второго порядка при  : а - ортогональный;
б - рототабельный
Таким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляет при  ПФЭ  , а при  - дробную реплику от него. Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо:
) добавить (2 - k) звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства    где  - звездное плечо, или расстояние до звездной точки;
) провести  опытов при значениях факторов в центре плана.
При k факторах общее число опытов в матрице композиционного плана составит:
 (8)
При этом величина звездного плеча  и число опытов в центре плана зависит от выбранного вида композиционного плана.
Композиционный план для и  представлен в таблице 1.
Таблица 1 - Композиционный план второго порядка
|
