Корреляция для нелинейной регрессии

Уравнение нелинейной регрессии, так же как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции (R):

где

Так как

то индекс корреляции можно выразить как

Величина данного показателя находится в границах чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

Парабола второй степени, как и полином, более высокого порядка, при линеаризации принимает вид уравнения множественной регрессии. Если же нелинейное относительно объясняемой переменной уравнение регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения парной регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции, величина которого в этом случае совпадает с индексом корреляции - преобразованная величина признака-фактора, например

В случае если преобразования уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной, линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признаков дает лишь приближенную оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции. Так, для степенной функции после перехода к логарифмически линейному уравнению может быть найден линейный коэффициент корреляции не для фактических значений переменных x и y , а для их логарифмов, т. е. . Соответственно квадрат его значения будет характеризовать отношение факторной суммы квадратов отклонений к общей, но не для y, а для его логарифмов:

Между тем при расчете индекса корреляции используются суммы квадратов отклонений признака y, а не их логарифмов. С этой целью определяются теоретические значения результативного признака, т. е. , как антилогарифм рассчитанной по уравнению величины и остаточная сумма квадратов как . Индекс корреляции определяется по формуле

В знаменателе расчета участвует общая сумма квадратов отклонений фактических значений y от их средней величины, а в расчете участвует Соответственно различаются и числители рассматриваемых показателей:

Не совпадают данные показатели и для уравнения регрессии в виде экспоненты, ибо при преобразовании в линейную форму рассчитывается линейный коэффициент корреляции между x и логарифмом y , т. е. опять заменяется и заменяется на При использовании в преобразовании нелинейных соотношений в линейную форму обратных значений результативного признака, т. е. 1/y , индекс корреляции также не будет совпадать ч линейным коэффициентом корреляции. В этом случае при определении индекса корреляции практически используется формула